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设矢量与Y轴的夹角为 a=£一如4-9 矢量面

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  2013年第12期物理传递 大学物理讲授 扭转矢量法描述简谐波 (浙江师范大学数理取消息工程学院浙江金华 321004) (收稿日期:2013一03—07) 摘要:采用扭转矢量法将简谐波的时间性取空间性,各质点的能量、相位、位移、速度以及加快度均反映到矢 量图中,并操纵该方式探究同标的目的、同频次波的合成问题,曲不雅地反映合成波的相关性质. 环节词:简谐波 扭转矢量法 合成波 能量比 1引言 扭转矢量法1是进修简谐振动过程中较为沉 要的解题方式,它将简谐振动的位移、相位、速度、加 速度等变量正在矢量图中暗示出来.但笔者发觉,操纵 扭转矢量法处置简谐波的文章并不多见,而学生正在 进修简谐波的过程中,对波的相位、时间性取空间性 常感应迷惑,故笔者将用扭转矢量法曲不雅地描述简 谐波. 2方式阐发 2.1 机械波扭转矢量法的引出(下文中均以波已 传至所会商的质点为例) 如图1为扭转矢量图,矢端沿圆周活动的角速度为cU,设矢量取Y轴的夹角为 a=£一如4-9 矢量面访正在Y轴上的投影为Y=Acos(叫f一如+9) 速度投影为 秽逐个Asin(mt一殷4-妒) 一38一 加快度投影为 口逐个A2cos(wt一如+9) 对于筒谐波,设波动方程为y=Acos(wt—kx 4-p) 此中,A为振幅,为频次,相位为£一妇+妒,忌一孥,A为波长.其波上各质点的位移、速度、加快度等 ^均可由式(3)、(4)、(5)表达,通过比力知能够用一 扭转矢量描述简谐波. 肆意选定距波源左方工处的质点,则: (1)扭转矢量以逆时针扭转为正,取y轴正向的 夹角等于简谐波上位于距波源z处的质点正在t时辰 的相位,跟着时闷增加,相位增大,矢端逆时针动弹; 跟着z增大,相位减小,矢端顺时针动弹. (2)扭转矢量的长度等于波的振幅,正在y轴上的 投影等于波上该质点的位移。 (3)矢端速度沿Y轴标的目的的投影便是该质点的 速度. (4)矢端加快度正在y轴上投影的负值便是该质 点的加快度. (5)该质点动能取势能的比值 Ek,MP\2 J对于第5点,因为位于工处的质点做类简谐振动,以弹簧振子为例做如下推导. 由动能公式知 Ek=了1 m02A2 sin2(ot一如4-驴) 万方数据2013#-g 12期 物理传递 大学物理讲授 所以有 所以 sin2(。£一如+妒)由此可见,操纵扭转矢量法大大简化了问题. 2.2同标的目的同频次简谐波的合成 统一介质中,两列同标的目的、同频次的简谐波可写 成如下形式 Ek—i1 K(MP)2 势能1Ep一专科2 cos2(co。f一妇+P)一了1(OP)2 (10) 所以 警一(塑OP)2 【例1】一平面简谐波沿工轴正向,已知距波源z一2 S时辰,向下活动且相位为要,波长为60 m,周期为3 S时的振动标的目的以及动能取势能的比值. 解析:正在t一2 S时质点M正在矢量图中的如 图2所示,此时相位 面访取Y轴正向夹角 为等,由于波向左传 。播,所以,相位跟着z 的增大而减小,故矢 端顺时针动弹竽圈, ^又相位随时间增加而 针动弹箬圈.yl=A1 cos(oaot一如+P1) (12) y2一A2cos(叫ot一妇十妒2) (13) 则波的合成 y—Y1+Y2 (14) 式(12)、(13)代入式(14)拾掇,得 y—EAl cos(一b+甲1)+ A2COS(--h+92)]cosot— EAl sin( 如+91)+ A2 sin(-/or+妒2)sinoaot (15) 令Acos(一如+59)= Al cos(一妇+P1)+A2 cos(一妇+妒2) Asin(一如+p)= A1 sin(一如+妒1)+A2 sin(一如+妒2) 则y—Acos(。t—b+9) (16) 可见,同标的目的、同频次的两列简谐波合成后仍为 简谐波,此中 cos(一妇+妒)一Al cos(一妇+驴1)+A2 cos(一如+92) Asin(一h+9)一 A1 sin(一如+P1)+A2 sin(一如+妒2) 用扭转矢量同样可获得上述成果.如图3所示,正在t时辰,任取离波源左侧z处的质点,别离正在矢量 图中做出矢量面‘和可i,则合成波的振幅矢量为 由阐发可知,矢端M顺时针动弹詈’逆时针转 商,两个矢量均以角速度叫。沿逆时针标的目的扭转, 位醇,t翮:YN¥1-F,且巧Ek一'ONsin莩/2—3 EONcos 故合矢积大小能连结恒定,并同样以角速度。扭转,A点正在Y轴上的投影即该质点正在该时辰的位 移,矢端A的速度正在Y轴上的投影即该质点的速度, 矢端动弹的加快度正在y上投影的负值即该质点的加 速度,(可AM讶)2为该质点的现实动能取势能的比值. 一39— 万方数据 2013年第12期 物理传递 大学物理讲授 【例2】已知两列同标的目的、同频次的简谐波A,B沿z轴正向,波A上距0点左方2 rn处的质点 S时辰向下活动,且y=60m,波长为2 周期为4s,振幅为120 ITI,波B上距0点10 质点N正在t—i04s时辰向下活动,且Y逐个30m,振 。幅为60 1TI,求位于z一20 1TI处的质点D正在t一22 S时辰的振动标的目的以及阐发该时辰动能取势能的特征 解析:如图4所示,统一介质中波的波速不异,频次不异,所以两列波的波长也不异,波A上的质 点正在矢量图中的扭转矢量为石防,因波向左,所 以,相位跟着t的增大而增大,矢端M逆时针动弹5 圈,跟着z增大而减小,矢端M则顺时针动弹9圈, 矢端M不变;同理矢端N转至P处,则合矢量 为0D,明显,位于z=20 m时的质点正在t=22 该题若用代数法,因相位分歧,很是繁琐,扭转矢量简单易行,该方式还能够处理波动方程的 求解等问题,这里不再继续会商. 3结论 操纵扭转矢量法描述简谐波,充实表现当时间 和空间周期性,并通过矢量图将波上各质点的动能 取势能比曲不雅地反映出来,大大简化了相关波动问 题的处理. 参考文献 1赵凯华,罗蔚茵.力学.:高档教育出书社,2005 2杨庆怡.用扭转矢量描述简谐振动.广西大学学报(天然 科学版),2002(27)(Sup.):145~147 3倪辛.扭转矢量图取简谐振动的关系.南京电视大 学学报,1999(4) 4杨庆怡.用扭转矢量描述波形及振动曲线取波形的转 换.见:第四届西部二十省(区)市物理学会结合学术交 流会论文集.2008 DeScdbing Simple Harmonic Wave RotationVector Method Ma Zhihong Chen Yalin Jia Fanhao (College InformationEngineering,Zhejiang Normal University,Zhejiang,JinHua 3241004) Abstract..This article rotationvector method simpleharmonic wave accelerationofeach particle vectordiagram.What'more, we use problemofthe same direction synthesiswave,whichintuitively reflects relatedproperlies composite wave. Key words:simple harmonic wave;the rotation vector method;synthesis wave;energy ratio 一40一 万方数据 扭转矢量法描述简谐波 做者: MaZhihong, Chen Yalin, Jia Fanhao 做者单元: 浙江师范大学数理取消息工程学院 浙江金华 321004 刊名: 物理传递 英文刊名: Physics Bulletin 2013(12)参考文献(4条) 力学2005 用扭转矢量描述简谐振动[期刊论文]-广西大学学报(天然科学版)2002(Sup) 扭转矢量图取简谐振动的关系[期刊论文]-南京电视大学学报1999(04) 用扭转矢量描述波形及振动曲线 援用本文格局:麻志洪.陈亚琳.贾帆豪.Ma Zhihong.Chen Yalin.Jia Fanhao 扭转矢量法描述简谐波[期刊论文]-物理传递 2013(12)